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    WEBpatente per Android [ Patenti: AM, A, B e Revisione A e B ] Nome, Data , Dimensione, Scaricati, Scarica. WEBpatente mobi offline "Multipatente". Categorie, Files, Dimensione, Downloads. WEBpatente - Multipatente ( aggiornato al ). WEBpatente per Windows Patenti: AM, A, B e Revisione A e. WEBpatente per Windows [ Patenti: C1/C1E, C1/C1E N.P., C/CE, Est. C/CE, D1/D1E, D/DE ed Est. D/DE ]. State per usare l'ultima versioone di WEBpatente, il programma per l'esercizio sui quiz dell'esame di teoria per le patenti A e B online dal Le versioni e. WEBpatente per Android [ Patenti: C1/C1E, C1/C1E N.P., C/CE, Est. C/CE, D1/D1E, D/DE ed Est. D/DE ].

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    Con WEBpatente 2. Il prof. WEBpatente 2. Che cosa c'era di nuovo? La novità più rilevante era l'introduzione del salvataggio delle statistiche dell'utente, attraverso i cookie. Intanto il prof. Mastri aveva messo da parte Netscape ed usava Internet Explorer 6.

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    Vero, Falso o Ci riununcio? Il vostro sogno è guidare un TIR o un autobus? Lo confessiamo apertamente: il prof. Mastri fa di tutto per evitare che diventiate come lui! Ayuda sobre accesibilidad. Iniciar sesión. Ahora no. I quiz cancellati dal database questi ultimi 3 e i 4 precedenti, relativi al trasporto di passeggeri su ciclomotori e motocicli non vengono più proposti nelle esercitazioni, ma possono essere ancora visualizzati.

    Prova subito WEBpatente 4. Su alcuni sistemi Mac OSX, Android l'installazione di programmi che non provengono dallo store ufficiale deve essere esplicitamente autorizzata. Gli utenti Mac possono trovare altre informazioni qui. Progetto: Rete Mista Dettagli.

    Antonio Caiazzo Dettagli.

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    Denotiamo con M la presenza della malattia e con S la presenza del sintomo. Nel caso di temi sensibili, le interviste dirette ottengono un alto tasso di non risposta oppure di risposte non oneste e quindi, generalmente, producono informazioni poco utili.

    Consideriamo il seguente esempio di tecnica di risposta randomizzata. All intervistato viene detto di usare una moneta e di lanciarla in privato, senza che nessuno possa vedere l esito del lancio. L intervistato stabilisce in base al risultato del lancio della moneta se rispondere al quesito sul tema sensibile o a un altra domanda innocua. Per esempio, se la moneta dà testa, l intervistato risponde al quesito hai mai usato una sostanza illecita a fini ricreativi; se la moneta dà croce, risponde al quesito sei nato nella prima parte dell anno, tra gennaio e giugno inclusi?

    Gli individui intervistati forniscono la loro risposta, ma senza dire a quale quesito hanno risposto. Da un. Sia Q S il quesito sensibile e Q I il quesito innocuo. In effetti, 15 indossavano le scarpe da ginnastica, il che mostra come la tecnica di intervista a risposta randomizzata produca risultati ragionevoli Test diagnostici Una utile applicazione del calcolo delle probabilità in campo medico è quella ai test diagnostici. Il risultato di un test si dice positivo quando indica la presenza della malattia, negativo quando sembra escluderla.

    Il test fornisce un risultato corretto nei casi 1 e 4 mentre commette un errore nei casi 2 e 3. Si dice sensibilità del test la probabilità di un vero-positivo ovvero la probabilità che il test sia positivo per un soggetto malato. Il problema che ci poniamo è: qual è la probabilità che un individuo risultato positivo al test sia effettivamente malato?

    Esempio I test HIV di quarta generazione hanno una sensitività del La probabilità di essere infetto da HIV, essendo risultato positivo al test, risulta dunque essere uguale a. Per risolvere questo problema si ricorre alla strategia di calcolare la probabilità del verificarsi dell evento complementare, ovvero la probabilità che, in un gruppo di k persone, non ci siano due persone con lo stesso giorno di compleanno.

    Sia B l evento per cui due persone festeggiano il compleanno nello stesso giorno dell anno. Consideriamo un gruppo di due persone.

    Consideriamo ora un gruppo di tre persone. La variazione di P B in funzione di k è riportata nella Figura Lo script R utilizzato per trovare il risultato è riportato qui sotto. Se escludiamo la possibilità che qualcuno possa compiere gli anni il 29 febbraio, ci sono k esiti possibili.

    Il risultato per cui, nel caso di 23 persone, la probabilità che almeno due persone compiano gli anni il medesimo giorno è maggiore di 0. In tali circostanze, il calcolo delle probabilità è molto semplice: se A è un evento costituito da s eventi elementari, con s n, allora la probabilità di A è data dal rapporto tra il numero s di eventi elementari contenuti in A e la cardinalità S dello spazio campionario.

    Il caso di S finito e di eventi elementari equiprobabili è quello considerato dalla definizione classica della probabilità. Risultano utili a questo proposito le tecniche del calcolo combinatorio che ci offrono una serie di strumenti per effettuare in un modo efficiente il conteggio dei casi favorevoli e dei casi possibili.

    Il calcolo combinatorio ha come oggetto il calcolo della cardinalità numero degli elementi di particolari insiemi finiti costruiti combinando, secondo regole assegnate, gli elementi di uno o più insiemi dati. I metodi di base del calcolo combinatorio applicano di due principi: la regola del prodotto e la regola della somma Principio del prodotto e principio della somma Teorema Se tutte le stringhe che identificano le targhe sono egualmente probabili, qual è la probabilità che una targa estratta a caso inizi con GZN?

    La soluzione è data dal numero di targhe che iniziano con GZN diviso per il numero totale di targhe possibili. Per calcolare il numero di targhe che iniziano con GZN, si considerino tutte le targhe che hanno la forma GZN Per i tre simboli mancanti ci sono possibilità. Se i sottoinsiemi S 1, Esempio L urna A contiene 5 palline numerate da 1 a 5, l urna B contiene 6 palline numerate da 6 a 11, l urna C contiene 3 palline numerate da 12 a 14 e l urna D contiene 2 palline numerate 15 e Quanti insiemi composti da due palline, ciascuna estratta da un urna differente, si possono formare?

    Definizione Si definisce modello dell urna la procedura per cui, da un urna contenente n palline, si estraggono a caso k palline. Le palline possono essere tutte diverse, oppure alcune palline possono essere tra loro indistinguibili. Fra le possibili modalità di estrazione, hanno speciale interesse l estrazione Bernoulliana di k palline ottenuta estraendo, una dopo l altra, k palline, e rimettendo ogni volta nell urna la pallina estratta, l estrazione senza ripetizione di k palline ottenuta estraendo, una dopo l altra, k palline, senza rimetterle nell urna, e l estrazione in blocco di k palline ottenuta estraendo k palline simultaneamente Campionamento dall urna con R La funzione urnsamples x, size, replace, ordered del pacchetto prob di R consente di elencare tutti i campioni che possono essere estratti dall urna sotto le condizioni specificate.

    L argomento x rappresenta l urna, l argomento size specifica la grandezza del campione e gli argomenti ordered e replace specificano le caratteristiche del processo di campionamento, come indicato nel seguito. Nel caso di campioni di ampiezza 2 estratti da un urna con tre elementi, abbiamo i seguenti quattro casi. Le permutazioni semplici si indicano con il simbolo P n. Il modello dell urna è quello di n estrazioni senza rimessa da un urna che contiene n palline diverse. Per definizione 0!

    Osservazione Il pacchetto prob di R contiene una serie di funzioni che possono essere usate per il calcolo combinatorio. Nel modello dell urna, le permutazioni semplici sono assimilabili a estrazioni senza rimessa nelle quali l ordine di estrazione viene tenuto in considerazione. La funzione urnsamples ci consente di elencare tutte le permutazioni semplici. È invece sufficiente calcolare la cardinalità dello spazio campionario S.

    Il primo argomento di nsamp indica il numero di elementi contenuti nell urna e k è la grandezza dei campioni estratti dall urna. Il significato degli ultimi due argomenti è lo stesso che nella funzione urnsamples. Le permutazioni semplici si applicano al caso di parole costituite da lettere tutte diverse tra loro.

    Ci sono 52! Per un primo gruppo di soggetti, l espressione usata era ; per un secondo gruppo l espressione era Tversky and Kahneman hanno trovato che, per la sequenza discendente, la mediana della stima era di 2, mentre, per la sequenza ascendente, la mediana dei giudizi era pari a In realtà, la risposta corretta è 40, Tversky and Kahneman hanno attribuito questo errore sistematico nei giudizi dei soggetti al fatto che i soggetti tendono ad estrapolare il risultato di 8!

    Tuttavia, il prodotto fattoriale è caratterizzato da un tasso di crescita molto grande, maggiore di quello che solitamente immaginiamo. Inoltre, le estrapolazioni da valori più piccoli producono stime minori di quelle che risultano intuitive utilizzando valori più grandi Permutazioni di n elementi non tutti diversi Definizione Nel caso di n elementi non tutti diversi tra loro, alcune permutazioni risultano uguali e dunque il numero totale di permuta-.

    Pn, è quello di n estrazioni senza rimessa da un urna che contiene n palline non tutte distinte tra loro. Le disposizioni semplici della classe k si indicano con D n,k. Teorema Il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti della classe k è uguale a n!

    Le disposizioni con ripetizione si indicano con il simbolo D r n,k. Il modello dell urna è quello di k estrazioni con rimessa da un urna che contiene n palline diverse. Le combinazioni semplici della classe k si indicano con il simbolo C n,k. Il modello dell urna è quello dell estrazione senza reimmissione di k palline da un urna che contiene n palline distinte tra loro: non c è la ripetizione di elementi né un ordine di estrazione.

    Le combinazioni semplici differiscono dalle disposizioni semplici perché le disposizioni semplici tengono conto dell ordine di estrazione mentre nelle combinazioni semplici si considerano distinti solo i raggruppamenti che differiscono almeno per un elemento.

    Gli elementi di ciascuna combinazione di k oggetti possono essere ordinati tra loro in k! Alcuni valori comuni del coefficiente binomiale sono riportati di seguito. Infatti, applicando l equazione otteniamo. Uno dei loro esperimenti riguarda il coefficiente binomiale. Ad un gruppo di soggetti è stato chiesto di stimare il numero di possibili comitati di grandezza r che possono essere formati con 10 persone.

    Sono stati considerati i valori di r che vanno da due a otto. Infatti, Tversky and Kahneman hanno spiegato i risultati ottenuti come un esempio dell euristica della disponibilità, ovvero la tendenza ad assegnare frequenze maggiori ad eventi che più facilmente possono essere richiamati alla mente. Dato che è più semplice immaginare la composizione di comitati composti da due persone anziché da otto, Tversky and Kahneman predissero che stima della frequenza sarebbe diminuita all aumentare del numero dei membri dei comitati.

    Come indicato nella figura Figura In questo modo ogni gruppo differirà dall altro per almeno un elemento o per quante volte è presente un elemento. Le combinazioni con ripetizione della classe k si denotano con il. Si verifichi anche che che l algoritmo sia corretto, ovvero che produca un risultato equilibrato quando vengono confrontati due dadi onesti con punti da 1 a 6.

    Si confrontino i risultati ottenuti con quelli riportanti nella figura Un esperimento consiste nel lanciare insieme due dadi a sei facce. A: esce un 1 o un 2 nel primo lancio; B: i due lanci producono un punteggio totale uguale a Gli eventi A e B sono disgiunti? Per l esperimento casuale descritto nell esercizio Una paziente è scelto a caso.

    Qual è la probabilità che manifesti palpitazioni o tremori? Che non manifesti né palpitazioni né tremori? Una moneta onesta viene lanciata due volte. Sapendo che il primo lancio ha prodotto testa, si trovi la probabilità che l esito testa venga trovato in entrambi i lanci. Tra questi, 12 femmine e 18 maschi soffrono d insonnia.

    Un paziente viene scelto a caso. Se sappiamo che il paziente selezionato è una femmina, qual è la probabilità che soffra d insonnia? Nel lancio di un dado sia A l evento esce un numero dispari, B l evento esce un numero pari. Da un mazzo di 52 carte se ne sceglie una a caso. Quanto vale la probabilità di estrarre una figura o una carta di fiori? E quella di estrarre una figura e un fiori? Determinare P B nel caso in cui: 1 A e B sono eventi incompatibili.

    Dati 5 punti su un cerchio, quante rette si possono tracciare congiungendo i punti a due a due? Un palindromo è una sequenza di caratteri che, quando viene letta a rovescio, rimane identica. Il comune di Ateleta, sito in provincia dell Aquila, presenta nel suo nome un palindromo. Si considerino tutte le sequenze possibili costituite dalle lettere D, O, G. Se una di tali sequenze viene estratta a caso, qual è la probabilità che sia un palindromo?

    Si consideri l esperimento casuale corrispondente al lancio di due dadi onesti. Sapendo che un paziente scelto a caso manifesta disturbi d umore, qual è la probabilità che il paziente manifesti anche difficoltà nella concentrazione? Una carta viene estratta a caso da un mazzo da poker.

    Sia A l evento fiori e B l evento asso. I due eventi A e B sono indipendenti? Si lanciano due dadi. Qual è il numero delle possibili coppie di risultati? Si lanciano tre dadi. Qual è il numero delle terne possibili?

    Sia X la somma dei puntini ottenuti nel lancio di due dadi. Qual è la probabilità che X assuma un valore maggiore di 10? Sia X la somma dei puntini ottenuti nel lancio di 4 dadi.

    Qual è la probabilità che X assuma un valore di almeno 23?

    Da un mazzo di carte da poker vengono estratte due carte. Quante coppie di carte possono essere estratte nell ipotesi che le carte vengano estratte a contemporaneamene, b successivamente, con reimmissione della carta nel mazzo, c successivamente, senza reimmissione della carta nel mazzo Si lanciano due dadi. Determinare il numero di coppie che presentano tutte e due le facce pari Si lanciano 5 monete. Calcolare il numero dei gruppi che si possono formare in modo che la faccia testa sia presente comunque nella prima e nelle ultime due estrazioni Un urna è composta da 10 palline rosse, 5 nere e 5 bianche.

    Si estraggono due palline contemporaneamente.

    Calcolare quante coppie di palline di colore bianco è possibile ottenere Un urna è composta da 10 palline rosse, 5 nere e 5 bianche. Calcolare quante coppie di palline di colore non rosso è possibile ottenere Un urna è composta da 10 palline rosse, 5 nere e 5 bianche. Calcolare quante coppie di palline di eguale colore è possibile ottenere. La mia tesi, paradossale e un po provocatoria, ma genuina, è che semplicemente la probabilità non esiste.

    Bruno de Finetti I concetti chiave sono le variabili aleatorie discrete e continue, le distribuzioni di probabilità per variabili discrete, il valore atteso, la varianza e la deviazione standard di una variabile aleatoria discreta e infine la covarianza tra due variabili aleatorie Variabili aleatorie Il risultato di una prova di un generico esperimento casuale non produce sempre un risultato numerico si pensi per esempio al lancio di una moneta.

    Tuttavia, siamo spesso interessati ad associare un numero all esito di ogni prova dell esperimento casuale. Questo ci conduce alla definizione di variabile aleatoria abbreviata nel seguito con v. Il dominio di X è S e il codominio è l asse dei numeri reali R. Una v. Osservazione Per semplicità, per riferirsi ad una v. Si denotano con lettere romane maiuscole le v. X assuma il valore x.

    Le distribuzioni di probabilità costituiscono il fondamento degli sviluppi teorici e delle applicazioni della statistica. Vedremo a breve le definizioni formali di alcune distribuzioni di probabilità e le formule che vengono usate per descriverle.

    Per introdurre questi concetti, consideriamo innanzitutto un esempio derivato dai giochi dei dadi. Questo ci consentirà di sviluppare una comprensione intuitiva dei concetti che verranno presentati poi in maniera più formale.

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    Consideriamo il fenomeno aleatorio consistente nell osservazione dei punti ottenuti dai lanci di una coppia di dadi si veda il. X è un numero compreso tra 2 e Rifacciamo ora i calcoli precedenti usando R. Facendo riferimento ai risultati riportati nella Tabella L insieme A è creato selezionando le righe di S che soddisfano entrambe le condizioni logiche specificante in subset : il fatto che la somma delle due v.

    Si noti come, all aumentare del numero di ripetizioni dell esperimento casuale, le frequenze relative probabilità empiriche approssimano sempre meglio la distribuzione di probabilità della v. Questo fatto va sotto il nome. A: lanci; B: , lanci. Definizione In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che è circa uguale alla sua probabilità.

    L approssimazione è tanto maggiore quanto più numerose sono le prove eseguite. Un esempio di frequenza relativa in funzione del numero dei lanci di una moneta ottenuto mediante una simulazione con R è mostrato nella figura Prima che i computer fossero disponibili, G.

    A tale evento è possibile assegnare una probabilità P X x che al variare di x R definisce la funzione di ripartizione della v. Definizione Dato uno spazio di probabilità S, M, P è detta funzione di ripartizione o funzione di distribuzione della v.

    X la funzione F x. Sono riportati i risultati di quattro sequenze indipendenti. Proprietà La funzione di densità di probabilità di una v. Per una v. Esempio Nel caso dell esempio riguardante la v. Definizione La v. X definita su di uno spazio di probabilità S, M, P è una v. R Nel caso di una v. Possiamo pensare al. Nel caso di una v. Definizione Se X : S R è una v.

    Esempio Consideriamo l esperimento casuale in cui X è il numero di volte in cui si osserva testa in due lanci di una moneta onesta esempio??

    Creiamo dunque una simulazione con un numero molto alto della v. Il vettore res viene inizializzato come un vettore vuoto e conterrà le realizzazioni della v. In ogni esecuzione del ciclo for viene registrato in res il valore prodotto dal lancio di un dado. In questo modo vengono creati i risultati di 50, lanci di un dado. X abbia una arbitraria funzione di densità f x.

    X e f x denota la verosimiglianza di ciascun valore. La verosimiglianza è il peso che associamo a ciascun valore x. Nel caso delle v. Il simbolo dx significa che, nel calcolo di questa somma pesata, facciamo variare i valori della variable X. In questo caso è ovvio, ma in generale le funzioni dipendono da più variabili e dunque è necessario specificare la variabile rispetto alla quale si intende eseguire l integrazione. Ovviamente, il calcolo degli integrali è difficile.

    Tuttavia, possiamo ottenere un risultato approssimativo utilizzando la tecnica di integrazione di Monte Carlo la quale è ampiamente usata in molte aree della matematica e dell ingegneria e che, concettualmente, è molto semplice. Supponiamo di conoscere la funzione di densità f x della v. È facile replicare questo risultato con R mediante la tecnica di integrazione di Monte Carlo. Consideriamo una v.

    La densità di probabilità di X è rappresentata. Infatti, usando la Talvolta è necessario calcolare il valore atteso di una funzione di una v.

    Possiamo definire una nuova v. X assume il valore x. Teorema Sia X una v. Sia g una funzione. L equazione precedente è valida anche se le v. X i non sono statisticamente indipendenti. Esempio Il disturbo ossessivo-compulsivo è caratterizzato da pensieri, impulsi, immagini ricorrenti o persistenti, vissuti come intrusivi o inappropriati e che causano ansia o disagio, e da comportamenti ripetitivi che la persona si sente obbligata a mettere in atto secondo regole che devono essere applicate rigidamente.

    Considerata la popolazione degli individui ossessivo-compulsivi, sia X 1 la v. Supponiamo che il valore atteso di X 1 sia 0. Qual è il valore atteso di X 3? Definizione Si dice varianza di una v. Dunque la varianza è una media ponderata dei quadrati degli scarti fra ciascuna modalità ed il valore atteso della v.

    Definizione È molto utile la seguente formula alternativa per il calcolo della varianza. Usiamo R per generare una sequenza di valori della v. X non siano altro che la media e la varianza dei risultati di un grande numero in teoria, infinito di ripetizioni dell esperimento casuale. Osservazione Si noti la notazione scientifica 1e La teoria della probabilità ci dice che la varianza di una v.

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    Per usare nuovamente la tecnica di integrazione di Monte Carlo calcoliamo la varianza tramite la formula alternativa della varianza. Esempio Sia X il numero di teste in due lanci di una moneta. Esempio Per la v. X dell esempio Esistono anche v. I concetti introdotti sono ovviamente generalizzabili a v. Il ragionamento si estende in modo ovvio per il caso n-dimensionale. Una rappresentazione grafica della distribuzione di probabilità congiunta e delle distribuzioni di probabilità marginali nel caso continuo è riportato in Figura Figura Esempio Consideriamo l estrazione di due numeri del lotto.

    Si calcoli la probabilità che vengano estratti due numeri consecutivi. Per assegnare una densità alla variabile Z notiamo che i possibili risultati sono tutte le coppie i, j dove i e j sono numeri fra uno e novanta diversi fra loro. Visto che il primo numero è estratto fra 90 possibili ed il secondo è estratto fra 89 possibili numeri ci sono in tutto diverse coppie. Con la densità siamo in grado di calcolare la probabilità di qualsiasi evento.

    Esempio Consideriamo nuovamente l esperimento casuale descritto nell esercizio Si calcolino le densità marginali della X e della Y.

    La densità marginale della X si trova saturando la densità congiunta sulla Y. Quindi la distribuzione marginale della X è uniforme, fra 1 e Lo stesso risultato si ricava per la Y Covarianza e correlazione La covarianza e la correlazione quantificano la tendenza delle variabili X e Y a variare assieme Covarianza La covarianza è una misura del legame lineare tra due variabili casuali X ed Y.

    Definizione Date due v. Esempio Siano X e Y due v. Le variabili aleatorie X e Y sono mutuamente indipendenti? Quindi le due v. Tuttavia, esse non sono indipendenti, in quanto non è vero che per tutti gli x e y. Lo svolgimento dei calcoli con R è riportato qui sotto. Una misura standardizzata della relazione che intercorre fra due variabili è invece rappresentata dalla correlazione.

    La correlazione si ottiene dividendo la covarianza per le deviazioni standard delle due v. Quindi, la covarianza fallisce nel rilevamento dell associazione tra le variabili X e Y. Tabella Nel caso discreto, se X e Y sono indipendenti, allora la densità congiunta è data dal prodotto delle distribuzioni marginali.

    Se si punta sul rosso una quota pari a 1 la vincita possibile è di 1. In ogni puntata il giocatore vince 1 o perde 1. Dunque i valori di X sono 1 e 1. Questo gioco è conveniente per il giocatore? Un laboratorio in Italia misura la temperatura di dati che sono generati a caso.

    La temperatura media è di 5. Si trovi il valore atteso dei dati espressi in Fahrenheit Si consideri una moneta disonesta in cui la probabilità di ottenere testa è.

    X assume valore 1 quando si osserva testa e 0 altrimenti.

    Si trovino il valore atteso, la varianza e la deviazione standard di X Si trovino le varianze delle v. W, X,Y e Z. W è una costante con valore 4. Per queste v. The law would have been personified by the Greeks and deified, if they had known of it.

    It reigns with severity in complete self-effacement amidst the wildest confusion. The huger the mob and the greater the anarchy the more perfect is its sway. Let a large sample of chaotic elements be taken and marshalled in order of their magnitudes, and then, however wildly irregular they appeared, an unexpected and most beautiful form of regularity proves to have been present all along. Francis Galton I concetti chiave sono le variabili aleatorie discrete e continue, le distribuzioni di probabilità per variabili discrete, il valore atteso, la varianza e la deviazione standard di una variabile aleatoria discreta e infine la covarianza tra due variabili aleatorie Che cos è il modello probabilistico di un fenomeno empirico?

    Le distribuzioni di probabilità possono essere usate come il modello teorico di un fenomeno empirico. Ad esempio, Meacock immagina la situazione nella quale tre persone a teatro ritornano al loro posto dopo l interruzione, arrivando in ordine casuale.

    Le persone arrivano dal corridoio centrale e, se devono raggiungere un posto che sta oltre uno già occupato, la persona che occupa quel posto deve alzarsi e poi sedersi nuovamente. Rispetto alla disposizione dei posti indicata dalla figura Se arrivano invece nell ordine. Il numero di movimenti per ciascun ordine di arrivo è indicato nella tabella Tabella Esso indica il numero minimo 3 e il numero massimo dei movimenti 9.

    La distribuzione di probabilità proposta da Meacock riguarda un caso specifico. Di seguito verranno esaminate le distribuzioni di probabilità più comunemente usate in statistica, che hanno applicazioni molto più generali Variabili discrete Distribuzione di Bernoulli Se un esperimento casuale ha solo due esiti possibili, allora le repliche indipendenti di questo esperimento sono chiamate prove Bernoulliane il lancio di una moneta è il tipico esempio. Viene detta variabile di Bernoulli una v.

    La distribuzione binomiale con parametri n e p fornisce l elenco delle probabilità associate a ciascuno dei possibili valori che la variabile X. Le distribuzioni binomiali sono una famiglia di distribuzioni di probabilità: al variare dei parametri p e n variano le probabilità. Consideriamo l esperimento casuale che consiste nel lancio di due monete oneste. Sia X il numero di volte in cui l esito testa viene osservato.

    Per calcolare la distribuzione di probabilità di X possiamo elencare tutti gli eventi che costituiscono lo spazio campionario e calcolare la probabilità di ciascuno di questi eventi. Dobbiamo dunque seguire un metodo diverso. In quanti modi diversi si possono osservare 2 esiti testa in 4 lanci? Queste sequenze costituiscono sei eventi indipendenti. Ciascuno di questi eventi ha una probabilità di di verificarsi.

    Il coefficiente binomiale n k specifica il numero di modi combinazioni in cui possono essere osservati k successi e n k insuccessi in una sequenza di n prove bernoulliane: n n! In generale, la probabilità di ottenere k successi e n k insuccessi in n prove bernoulliane con probabilità di successo uguale a p è pari a: p k 1 p n k.

    Se k oppure n k sono uguali a 0, dunque, il fattore corrispondente p 0 oppure 1 p 0 sarà uguale a 1. Utilizzando i due risultati precedenti, ovvero il numero di combinazioni di k successi e n k insuccessi in n prove bernoulliane pari a n k e il fatto che la probabilità di una specifica sequenza di k successi e n k insuccessi sia uguale a p k 1 p n k, otteniamo la formula per calcolare tutte le probabilità della distribuzione binomiale.

    Teorema Una v. X è la somma di n prove Bernoulliane indipendenti. A path in this diagram is any descending line which starts at the top row, ends at the bottom row, and passes through exactly one symbol X or O in each row. È difficile trovare in maniera intuitiva una soluzione a questo problema e Tversky e Kahneman si aspettavano che i soggetti avrebbero stimato la frequenza relativa dei diversi tipi di percorsi basandosi sulla facilità con cui ciascun tipo di percorso poteva essere costruito a partire dall ispezione del diagramma.

    I risultati riportati nella figura Osservazione Si noti che l uso della funzione di ripartizione per il calcolo delle probabilità in un intervallo di valori è diverso quando la variabile aleatoria è discreta anziché continua.

    Nel caso discreto invece le cose sono più complicate perché dobbiamo distinguere i casi in cui gli estremi dell intervallo appartengono all intervallo oppure no. Consideriamo la v. Notiamo che gli estremi sono compresi nell intervallo. Esempio Sia X una v.

    Soluzione: 1. Per verificare numericamente che la soluzione trovata sopra sia corretta, consideriamo , estrazioni casuali dalla distribuzione uniforme definita in precedenza. L area di un rettangolo è data dalla metà del prodotto del numero che misura la sua base per il numero che misura la sua altezza. Nel nostro caso ci poniamo il problema di trovare l altezza, f m , tale per cui l area del triangolo sia 1.

    Calcoliamo ora la funzione della retta passante per i punti 15, 0. L intercetta. In maniera corrispondente, la funzione della retta passante per i punti 5, 0 e 15, 0. Soluzione: Per calcolare P 15 x 18 , dobbiamo trovare l area sottesa alla funzione triangolare nell intervallo compreso tra 18 e 25 e sottrarre poi tale valore da 0. Di default la funzione ptriangle assume che la funzione di densità sia simmetrica. Adolphe Quetelet, il padre delle scienze sociali quantitative, fu il primo ad applicare tale densità alle misurazioni dell uomo.

    Per introdurre le distribuzioni normali, consideriamo ora un esempio proposto da McElreath Supponiamo che vi siano mille persone tutte allineate su una linea di partenza.

    Quando viene dato un segnale, ciascuna persona lancia una moneta e fa un passo in una direzione, oppure nella direzione opposta, a seconda dell esito del lancio. Supponiamo che la lunghezza di ciascun passo vari da 0 a 1 metro.

    Ciascuna persona lancia la moneta 16 volte e dunque fa 16 passi. Alla conclusione di queste passeggiate aleatorie random walk , non possiamo sapere dove si troverà ciascuna delle persone considerate, ma possiamo conoscere con certezza le caratteristiche della distribuzione delle mille distanze dall origine. Per esempio, possiamo predire la proporzione di persone che si saranno spostate avanti oppure indietro.

    Oppure, possiamo predire la proporzione di persone che si troveranno ad una certa distanza es. Queste predizioni sono possibili perché le distanze create in questo modo si distribuiscono in maniera normale, o gaussiana. È facile simulare questo processo usando R.

    I risultati della simulazione sono riportati nelle Figure Non importa quale sia la forma della distribuzione soggiacente. La forma della distribuzione soggiacente determina la velocità con cui la convergenza alla normale si realizza. In alcuni casi la convergenza è lenta; in altri casi, come nell esempio presente, la convergenza è molto rapida.